ลูกเต๋าสามลูก: ผลรวม 10 กับ 18 มีโอกาสเท่ากันไหม

คำถามที่พบบ่อยของผู้ที่เริ่มดูเกมลูกเต๋าสามลูกคือ ผลรวมต่างกันมีโอกาสเกิดเท่ากันไหม คำตอบสั้นคือไม่เท่ากัน และตัวเลขทั้งหมดนับได้ตรงๆ จากผลที่เป็นไปได้ 216 แบบ บทความนี้นับให้ดูทีละขั้นด้วยลูกเต๋าที่ยุติธรรมในอุดมคติ และแยกเรื่องความน่าจะเป็นออกจากเรื่องอัตราจ่าย เพราะสองอย่างนี้เป็นคนละเรื่อง บทความนี้ไม่ได้ระบุราคาของผู้ให้บริการรายใดและไม่ได้ชวนให้เล่น

ภาพประกอบที่สร้างขึ้น ไม่ใช่ภาพหน้าจอของแพลตฟอร์ม

การคำนวณสมมุติว่าลูกเต๋ายุติธรรม ไม่ระบุราคาของผู้ให้บริการใด และไม่ใช่คำแนะนำให้เดิมพัน

นับผลทั้งหมด

ลูกเต๋าแต่ละลูกมีหกหน้า เมื่อทอยสามลูกพร้อมกันและแยกลูกแต่ละลูกออกจากกัน จะได้ผลที่เป็นไปได้ 6 คูณ 6 คูณ 6 เท่ากับ 216 แบบ เช่น 1-2-3 และ 3-2-1 นับเป็นคนละแบบ เพราะลูกแรก ลูกที่สอง และลูกที่สามต่างกัน

ถ้าลูกเต๋ายุติธรรมและทอยแยกกัน ทั้ง 216 แบบมีโอกาสเกิดเท่ากัน คือ 1 ใน 216 วิธีนับแบบนี้ช่วยให้คำนวณความน่าจะเป็นของผลรวมใดๆ ได้โดยนับว่ามีกี่แบบที่รวมแล้วได้ค่านั้น

ผลรวม 18 เกิดได้แบบเดียว

ค่าสูงสุดของลูกเต๋าหนึ่งลูกคือ 6 การจะได้ผลรวม 18 ต้องเป็น 6 ทั้งสามลูก จึงมีเพียงแบบเดียวคือ 6-6-6 ความน่าจะเป็นคือ 1 ใน 216 หรือประมาณ 0.46 เปอร์เซ็นต์

ผลรวม 3 ก็เป็นลักษณะเดียวกัน คือต้องเป็น 1-1-1 เท่านั้น ผลรวมที่ขอบของช่วงจึงเกิดได้น้อยมาก

ลองตรวจสอบด้วยตัวเองเพื่อความเข้าใจ โดยเขียนตารางสามคอลัมน์ ได้แก่ ผลรวม จำนวนแบบเรียงลำดับ และความน่าจะเป็น แล้วเติมค่าตั้งแต่ 3 ถึง 18 ผลรวมของจำนวนแบบทั้งหมดต้องได้ 216 พอดี ถ้าไม่ครบแสดงว่านับตกหล่นหรือซ้ำ การเช็กยอดรวมเป็นวิธีง่ายๆ ที่ใช้ได้กับการนับทุกชนิด

ผลรวม 10 เกิดได้ 27 แบบ

ผลรวม 10 เกิดได้จากชุดตัวเลขที่ไม่เรียงลำดับหกชุด คือ 6-3-1, 6-2-2, 5-4-1, 5-3-2, 4-4-2 และ 4-3-3 แต่ละชุดมีจำนวนวิธีเรียงต่างกัน ชุดที่ตัวเลขต่างกันทั้งสามตัวเรียงได้ 6 วิธี ส่วนชุดที่มีตัวเลขซ้ำสองตัวเรียงได้ 3 วิธี

นับรวมได้ 6 บวก 3 บวก 6 บวก 6 บวก 3 บวก 3 เท่ากับ 27 แบบ ความน่าจะเป็นคือ 27 หาร 216 เท่ากับ 0.125 หรือ 12.5 เปอร์เซ็นต์ เกิดบ่อยกว่าผลรวม 18 ราว 27 เท่า

ทำไมค่ากลางจึงเกิดบ่อยกว่า

ผลรวมที่อยู่กลางช่วง เช่น 10 และ 11 เกิดได้จากหลายชุดตัวเลข จึงมีจำนวนแบบเรียงลำดับมาก ผลรวมที่อยู่ปลายช่วงเกิดได้จากชุดตัวเลขน้อยชุด จึงเกิดได้น้อย รูปกราฟของความถี่จึงเป็นระฆังคว่ำ สูงตรงกลางและต่ำที่ปลาย

หลักเดียวกันนี้ใช้กับกรณีที่ลูกเต๋าหลายลูกถูกรวมเป็นผลรวม ยิ่งจำนวนลูกเต๋ามาก ผลรวมที่กลางช่วงยิ่งเด่นชัด

ความน่าจะเป็นไม่ใช่อัตราจ่าย

ความน่าจะเป็นบอกว่าเหตุการณ์เกิดบ่อยเพียงใดในอุดมคติ อัตราจ่ายคือจำนวนเงินที่ได้รับเมื่อเหตุการณ์เกิด ซึ่งผู้ให้บริการกำหนดเอง ไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับความน่าจะเป็น และมักตั้งให้ต่ำกว่าอัตราที่ยุติธรรมเพื่อให้มีส่วนต่างสำหรับผู้ให้บริการ

บทความนี้ไม่ได้ระบุอัตราจ่ายหรือราคาของผู้ให้บริการใด การรู้ว่าผลรวม 10 เกิดบ่อยกว่าผลรวม 18 ไม่ได้บอกว่าตัวเลือกใดคุ้มค่ากว่า เพราะต้องดูอัตราจ่ายที่แท้จริงด้วย

ในมุมที่ใช้งานได้จริง ความรู้นี้ช่วยให้ไม่หลงเชื่อประโยคอย่างผลรวมสูงมักมาทีหลัง หรือผลรวมต่ำถึงเวลาแล้ว ซึ่งไม่มีมูลความจริงสำหรับลูกเต๋าที่ทอยอิสระต่อกัน ลูกเต๋าไม่มีความจำ การทอยครั้งก่อนไม่ได้เปลี่ยนความถี่ของครั้งถัดไป

ข้อจำกัดของการคำนวณอุดมคติ

ตัวเลขทั้งหมดข้างต้นสมมุติว่าลูกเต๋ายุติธรรมและผลสุ่มจริง ในเกมที่ให้บริการจริง กติกา การชำระ และขั้นตอนการสร้างผลเป็นเรื่องที่ต้องอ่านจากหน้ากติกาของเกมนั้นเอง ข้อมูลเชิงแนวคิดเกี่ยวกับความสุ่มและผลตอบแทนที่อ้างถึงมาจากเอกสารของหน่วยงานในสหราชอาณาจักร ซึ่งไม่ใช่กฎของประเทศไทยและไม่ได้รับรองผู้ให้บริการใด

ความเข้าใจทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ทำให้การเดิมพันมีกำไร และไม่มีการรับประกันผลตอบแทน หากต้องการลองคำนวณเพื่อความสนุกทางวิชาการ ใช้ลูกเต๋าจริงทอยหลายร้อยครั้งแล้วนับ จะเห็นว่าผลรวม 10 และ 11 ปรากฏบ่อยกว่าอย่างชัดเจน

คำถามที่ผู้อ่านสงสัย

แหล่งข้อมูลและบทความเพิ่มเติม

• i8 Live homepage (site descriptions only)
• UK Gambling Commission: Generation of random outcomes
• UK Gambling Commission: Return to player

อ่านต่อ

• ตัวคูณ 5 เท่าหมายถึงกำไรหรือเงินคืนรวม?
• ตารางย้อนหลังของบาคาร่าไม่ได้บอกผลตาถัดไป